HOMEĐể hiểu cách chứng minh hình thoi trước tiên bạn phải hiểu khái niệm hình thoi là gì? Tính chất của hình thoi như thế nào? Dấu hiệu nhận biết hình thoi ra sao. Khi bạn hiểu về những điều ấy rồi bạn sẽ hiểu được bản chất của hình thoi và rồi sẽ có cách chứng minh hình dễ dàng. Dưới đây TTmobile sẽ lần lượt giải đáp hết mọi thắc mắc cho bạn. Cùng theo dõi nhé!
Định nghĩa hình thoi là gì?
Khái niệm hình thoi:
– Hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.
– Hình thoi là hình bình hành có 2 cạnh liền kề bằng nhau hoặc có đường chéo vuông góc với nhau.
– Hình thoi là một hình bình hành đặc biệt.
4 Tính chất hình thoi
Hình thoi có 4 tính chất như sau:
Tính chất 1:
– Hình thoi có tất cả những tính chất của hình bình hành.
Tính chất 2:
– Hình thoi có các góc đối diện bằng nhau.
Dựa vào khái niệm về hình thoi, ta có:
∆ABC = ∆ADC (c .c. c)
=> Góc B = Góc D
∆ABD = ∆CBD (c .c .c)
=> Góc A = Góc C
Tính chất 3:
– Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Xét ∆BAD cân tại A có AO là đường phân giác ứng với góc  => AO đồng thời cũng là đường cao ứng với BD => AO ⊥ BD => Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tính chất 4:
– Hình thoi có hai đường chéo chia các góc ra hình thoi thành hai góc bằng nhau ( đường phân giác). Hay nói dễ hiểu hơn là: hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Xét ∆AOB và ∆COB có:
Cạnh OB chung
OA = OC (O là trung điểm AC, do ABCD cũng là một hình bình hành)
BA = BC (Hình thoi có 4 cạnh bằng nhau)
Suy ra ∆AOB = ∆COB (c. c. c)
=> Góc ABO = Góc CBO
=> BO hay BD là đường phân giác của Góc ABC và Góc ADC
Chứng minh tương tự, ta cũng có:
AC là đường phân giác của Góc BAD và Góc BCD.
Các dấu hiệu nhận biết hình thoi
Có thể thấy, hình thoi là một tứ giác đặc biệt và cũng là hình bình hành đặc biệt. Do vậy, dấu hiệu nhận biết hình thoi có thể dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác và hình bình hành. Cụ thể:
1 – Hình thoi là một tứ giác đặc biệt
Khi hình thoi là một tứ giác đặc biệt thì có thể nhận biết hình thoi như sau:
– Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.
– Tứ giác có 2 đường chéo là đường phân giác của cả 4 góc là hình thoi.
– Tứ giác có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau là hình thoi.
2 – Hình thoi là hình bình hành đặc biệt
Hình thoi là một dạng đặc biệt của hình bình hành. Do đó, hình thoi sẽ có đầy đủ các tính chất của hình bình hành kèm thêm một số tính chất khác. Cụ thể đó là:
– Hình bình hành có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thoi.
– Hình bình hành có 1 đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
– Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Xem thêm:
- Định nghĩa hình vuông, 5 dấu hiệu nhận biết, công thức chu vi diện tích hình vuông
- CT Diện tích hình bình hành, Chu vi, 3 Tính chất, 7 Dấu hiệu
4 Cách chứng minh hình thoi
Tùy vào cách ra đề của mỗi bài toán mà sẽ áp dụng cách chứng minh hình thoi hợp lý. Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, có thể áp dụng một trong số 4 cách dưới đây:
Cách 1 – Chứng minh hình thoi là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
Để hiểu về cách chứng minh hình thoi này bạn có thể xem ví dụ sau:
Ví dụ: Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình chữ nhật là các đỉnh của hình thoi.
Xét tam giác ABD có:
E và H lần lượt là trung điểm của AB và AD
=> EH là đường trung bình của tam giác
=> EH = 1/2 BD (1)
Chứng minh tương tự ta có:
EF = 1/2 AC; FG = 1/2 BD; HG = 1/2 AC (2)
Vì ABCD là hình chữ nhật nên
AC = BD (3)
Từ (1), (2) và (3), ta suy ra:
EH = EF = HG = GF
=> Tứ giác EFGH là hình thoi do có bốn cạnh bằng nhau. (đ.p.c.m).
Bạn đang xem: 4 Cách chứng minh hình thoi nhanh nhất hiện nay
Cách 2 – Chứng minh hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
Để hiểu cách chứng minh này bạn có thể xem ví dụ sau:
Ví dụ: Cho tam giác ABC, lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K lần lượt là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng: IMNK là hình thoi.
Theo giả thiết ta có:
M là trung điểm của BE và I là trung điểm của DE
=> MI là đường trung bình của ΔBDE
=> MI // BD và MI = 1/2 BD
Chứng minh tương tự, ta có:
NK // BD và NK= 1/2 BD
Do có MI // NK và MI = NK nên tứ giác MINK là hình bình hành (4)
Chứng minh tương tự, ta có:
IN là đường trung bình của ΔCDE
=> IN = 1/2 CE mà CE = BD (gt)
=> IN = IM (5) Từ (4) và (5)
=> Tứ giác MINK là hình thoi do là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. (đ.p.c.m).
Bạn đang xem: 4 Cách chứng minh hình thoi nhanh nhất hiện nay
Xem thêm:
- HÌNH THANG CÂN – Định nghĩa, Chu vi, Diện tích và 3 bài tập ví dụ hay
- Tổng Hợp Các Công Thức Tính Diện Tích Hình Chữ Nhật Mới Nhất
Cách 3 – Chứng minh hình thoi là tứ giác có 2 đường chéo là trung trực của nhau
Để hiểu cách chứng minh hình thoi này bạn xem ví dụ sau đây:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có AB = AC. Kéo dài trung tuyến AM của ΔABC và lấy ME = MA. Chứng minh tư giác ABEC là hình thoi.
Ta có:
ΔABC cân tại A có trung tuyến AM
=> AM đồng thời là đường trung trực của BC
=> Tứ giác ABEC là hình thoi do có 2 đường chéo là đường trung trực của nhau. (đ.p.c.m).
Cách 4 – Chứng minh hình thoi là hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc
Để hiểu về cách chứng minh hình thoi này bạn xem ngay ví dụ dưới đây:
Ví dụ: Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tam giác AOB; BOC; COD và DOA là đỉnh của một hình thoi.
Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm các phân giác trong của các tam giác AOB, BOC, COD và DOA.
Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên:
OA = OC và OB = OD.
Xét ΔBMO và ΔDPO có:
Góc B1 = D1 và Góc O1 = O2 ( đối đỉnh ) và OB = OD (gt)
=> ΔBMO = ΔDPO (g. c. g)
=> OM = OP và các điểm M, O, P thẳng hàng (6)
Chứng minh tương tự:
ON = OQ và N, O, P thẳng hàng (7)
Từ (6) và (7) Suy ra:
Tứ giác MNPQ là hình bình hành do các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (8)
Mặt khác OM, ON là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên:
OM ⊥ ON. (9)
Từ (8) và (9) suy ra:
MNPQ là hình thoi do là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc. (đ.p.c.m)
Tổng Kết
Trên đây là những chia sẻ về tất cả những lý thuyết và cách chứng minh hình thoi xin gửi đến bạn đọc. Hy vọng từ bài viết bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức bổ ích về hình thoi. Chúc bạn luôn học tập vui vẻ và tìm ra nhiều điều thú vị từ hình học.
Rất cảm ơn bạn đã quan tâm và đọc bài.
