HOMETrung tuyến là gì hay đường trung tuyến là gì? Công thức tính đường trung tuyến? Tính chất đường trung tuyến? Chứng minh đường trung tuyến? Bài tập về đường trung tuyến?
Tất cả sẽ được TTmobile giải đáp ngay dưới đây, cùng theo dõi nhé!
Khái niệm Trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
Đường trung tuyến của tam giác là gì?
Trung tuyến của tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Do vậy, mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.
Đường trung tuyến của tam giác cân và tam giác đều
Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau.
Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
Định lý đường trung tuyến trong tam giác
Trong tam giác, có 3 định lý cho đường trung tuyến như sau:
– Định lý 1:
3 đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua 1 điểm, điểm này được gọi là trong tâm của tam giác đó.
– Định lý 2:
Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng là 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
– Định lý 3:
Đường trung tuyến của một tam giác chia tam giác (cân và đều ) thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
3 Đường trung tuyến của tam giác đều chia tam giác đó thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
- Tam giác cân là gì? Tính chất tam giác cân và 2 công thức tính chu vi diện tích
- 9 Công Thức Tính Diện Tích Tam Giác đáng chú ý
Các tính chất đường trung tuyến
Bạn vừa hiểu được khái niệm đường trung tuyến là gì rồi, dưới đây là các tính chất đường trung tuyến như sau:
Tính chất 1:
– Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này được gọi là trong tâm của tam giác.
– Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác sẽ bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
Tính chất 2:
– Mỗi trung tuyến chia diện tích tam giác thành hai phần bằng nhau.
– 3 trung tuyến chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau.
Tính chất 3:
– Tam giác vuông có một góc lớn 90 độ và hai cạnh tạo nên góc vuông này luôn vuông góc với nhau. Vì vậy, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có những tính chất của đường trung tuyến tam giác:
Trong một tam giác bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa (1/2) cạnh huyền.
Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
Tính chất 4:
– Đường trung tuyến trong tam giác cân:
Đường trung tuyến ứng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đáy, đồng thời chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau.
Tính chất 5:
– Đường trung tuyến trong tam giác đều:
+ 3 đường trung tuyến trong tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
+ Trong tam giác đều, đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ, đồng thời đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Công thức tính đường trung tuyến
Độ dài đường trung tuyến của một tam giác được tính thông qua độ dài các cạnh của tam giác và được tính bằng định lý apollonnius.
Công thức tính đường trung tuyến như sau:
Trong đó:
a,b,c là các cạnh của tam giác.
ma, mb, mc là các trung tuyến tương ứng.
Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
Các dạng bài tập đường trung tuyến hay nhất
Để hiểu hơn về định nghĩa đường trung tuyến là gì? Tính chất đường trung tuyến trong tam giác như đã nêu trên hãy cùng TTmobile vận dụng các bài tập đường trung tuyến như sau:
Bài tập 1:
Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia B x // A C . Lấy điểm D ∈ B x và điểm E thuộc tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng Δ A B C và Δ A D E có cùng một trọng tâm.
Hướng dẫn giải:
Hướng giải như sau: Tam giác ABC và ADE có chung đỉnh A nên muốn chứng minh chúng có cùng một trọng tâm, chỉ cần chứng minh chúng có chung một đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.
Bắt đầu nhé:
Vì B x // A C nên ˆ C B x = ˆ B C E (so le trong).
Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có Δ B M D = Δ C M E (c.g.c).
Suy ra M D = M E ( 1 ) và ˆ B M D = ˆ C M E .
Ta có ˆ B M E + ˆ C M E = 180 o (kề bù).
Do đó ˆ B M E + ˆ B M D = 180 o
⇒ D, M, E thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của DE.
Δ A B C và Δ A D E chung đỉnh A, chung đường trung tuyến AM nên trọng tâm G của hai tam giác này trùng nhau.
Bài tập 2:
Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia GB và GC lấy các điểm F và E sao cho G là trung điểm của FM đồng thời là trung điểm của EN. Chứng minh rằng ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy.
Hướng dẫn giải:
Hướng giải như sau: Để chứng minh ba đường thẳng AG, BE và CF đồng quy ta có thể chứng minh chúng là ba đường trung tuyến của tam giác GBC.
Ta bắt đầu làm như sau:
Gọi D là giao điểm của AG và BC.
Vì G là trọng tâm của Δ A B C nên AD là đường trung tuyến, suy ra D B = D C .
Xét Δ G B C có GD, BE, CF là ba đường trung tuyến nên chúng đồng quy suy ra ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy.
Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
Các bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.
- Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
- Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?
- DE = DF = 13cm, EF = 10cm. tính DI.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Tính số đo góc ABD
- Chứng minh : ABC = BAD.
- So sánh độ dài AM và BC.
Bài tập 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.
- Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.
- Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G, I là trung điểm của AF. Chứng minh : 3 điểm K, G và I thẳng hàng.
Bài tập 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8cm, BC = 10cm. Trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G.
- Tính AC, AE.
- Tính BE, BG.
Bài tập 5: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.
- Tam giác BGC là tam giác gì ?
- So sánh tam giác BCD và tam giác CBE.
- Tam giác ABC là tam giác gì ?
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có BC = 2BA. BD là đường phân giác. Chứng minh : CD = 2DA.
Bài tập 7: Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI.
Bài tập 8: Trên đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.
- Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.
- CI cắt GE tại O. Điểm O là gì của tam giác ABC. Chứng minh BE = 9OE.
- Bạn đang xem: Đường trung tuyến là gì? Công thức, tính chất và 10 bài tập hay
Bài tập 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
- Tính AD.
- Điểm M là gì của tam giác BCD.
- Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.
Bài tập 10: Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.
- Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
- Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?
- DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Tính DI.
Bài tập 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Tính số đo góc ABD
- Chứng minh : ABC = BAD.
- So sánh độ dài AM và BC.
Bài tập 12: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
- Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.
- Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.
- Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G, I là trung điểm của AF. Chứng minh : 3 điểm K, G và I thẳng hàng.
Tổng Kết
Trên đây là những chia sẻ về đường trung tuyến là gì? Các tính chất đường trung tuyến, công thức tính đường trung tuyến và bài tập đường trung tuyến rất chi tiết. Hy vọng từ bài viết bạn sẽ bổ sung thêm nhiều kiến thức hữu ích. Chúc bạn có những giây phút học tập vui vẻ.
Rất cảm ơn bạn đã quan tâm và đọc bài.
