Chứng minh hình bình hành là một trong những dạng toán thường thấy của toán hình học. Để chứng minh hình bình hành thì bạn cần hiểu định nghĩa hình bình hành là gì? Tính chất hình bình hành và dấu hiệu nhận biết hình bình hành. Từ đó, việc đưa ra các nhận định để chứng minh tứ giác là hình bình hành khá đơn giản. Để hiểu rõ về các cách chứng minh hình bình hành hãy cùng TTmobile xem bài viết dưới đây.
Khái niệm hình bình hành là gì?
– Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song hoặc một cặp cạnh đối bằng nhau và song song.
– Trong hình bình hành có:
+ Các cạnh đối diện bằng nhau.
+ Các góc đối diện bằng nhau.
+ Các góc kề một cạnh bù nhau.
+ Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tính chất hình bình hành
Hình bình hành có 3 tính chất như sau:
– Hình bình hành có các góc đối bằng nhau.
– Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau và song song với nhau.
– Hình bình hành có hai đường chép cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Hình bình hành có 8 dấu hiệu nhận biết như sau:
– Hình bình hành là một tứ giác đặc biệt. Có 7 dấu hiệu nhận biết hình bình hành như sau:
1 – Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
2 – Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
3 – Tứ giác có hai cạnh đối vừa song song và vừa bằng nhau là hình bình hành.
4 – Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.
5 – Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
6 – Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành.
7 – Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
– Hình bình hành là hình thang có dấu hiệu nhận biết như sau:
8 – Hình Thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành.
5 Cách chứng minh hình bình hành
Hình bình hành có khá nhiều hướng để chứng minh. Bạn có thể tham khảo 5 cách chứng minh hình bình hành dưới đây:
Cách 1 – Chứng minh hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
Để hiểu rõ về cách chứng minh hình bình hành này bạn có thể xem ví dụ như sau:
Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆CDA. Chứng minh rằng ABCD là Hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta có:∆ABC = ∆CDA
=> AD = BC và AB = CD
=> ABCD là hình bình hành do có các cặp cạnh đối bằng nhau.
Cách 2 – Chứng minh hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song
Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác góc D cắt AB ở E, tia phân giác góc B cắt CD ở F. Chứng minh DEBF là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta có: Góc B1 = D1 do đều bằng một ½ của hai góc bằng nhau B và D trong hình bình hành ABCD.
AB // CD (ABCD là hình bình hành)
=> Góc B1 = F1 (so le trong)
Mà hai góc này lại ở vị trí đồng vị
=> DE // BF
Xét tứ giác DEBF có:
DE // BF (chứng minh trên)
BE // DF ( do AB // CD)
Vậy Tứ giác DEBF là Hình bình hành do các cạnh đối song song. ( đpcm).
Ví dụ 2: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
Hướng dẫn giải:
Ta có:
EF là đường trung bình của tam giác ABC, nên
EF // AC (1)
Tương tự, HG là đường trung bình của tam giác ACD, nên
HG // AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra HG // EF
Ta lại có: FG là đường trung bình của tam giác CBD, nên
FG // BD (3)
Tương tự, HE là đường trung bình của tam giác ABD, nên
HE // BD (4)
Từ (3) và (4) suy ra HE // FG
Xét tứ giác EFGH có:
HG // EF và HE // FG;
Vậy Tứ giác EFGH là Hình bình hành do các cạnh đối song song. ( đpcm).
Xem thêm bài viết:
Cách 3 – Chứng minh hình bình hành là tứ giác có các góc đối bằng nhau
Để hiểu rõ về cách chứng minh hình bình hành này bạn xem ví dụ dưới đây:
Ví dụ 1: Cho Tứ giác ABCD có ∆ABC = ∆ ADC và ∆BAD = ∆BCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Hình tương tự như ở Cách 1.
Ta có: ∆ABC = ∆ADC
=> Góc ABC = Góc ADC (1)
∆BAD = ∆BCD
=> Góc BAD = Góc BCD (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Tứ giác ABCD là hình bình hành do các góc đối bằng nhau.
Cách 4 – Chứng minh hình bình hành là tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Để hiểu cách chứng minh hình bình hành này bạn xem ví dụ dưới đây:
Ví dụ : Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Từ A kẻ AE vuông góc với BD, từ C kẻ CF vuông góc với BD. Chứng minh rằng Tứ giác AECF là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta có: OA = OC (tính chất hình bình hành) (1)
Xét hai tam giác vuông AEO và CFO có:
Góc AEO = Góc CFO = 90°
OA = OC
Góc AOE = Góc COF (đối đỉnh)
Suy ra, ∆AEO = ∆CFO (cạnh huyền – góc nhọn)
=> OE = OF (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Tứ giác AECF là hình bình hành do có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Cách 5 – Chứng minh hình bình hành là tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
Để hiểu cách chứng minh hình bình hành này chúng ta hãy xem ví dụ như sau:
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm BC. Chứng minh rằng BEDF là hình bình hành.
Hướng dẫn giải:
Ta có: ABCD là hình bình hành
=> AD // BC và AD = BC
AD // BC
=> DE // BF (1)
E là trung điểm AD
=> DE = AD/2
F là trung điểm BC
=> BF = BC/2
Mà AD = BC (ABCD là hình bình hành)
DE = BF (2)
Từ (1) và (2)
=> Tứ giác DEBF là hình bình hành do có hai cạnh đối song song và bằng nhau. (dpcm)
Công thức tính Chu vi hình bình hành và diện tích hình bình hành
1 – Công thức tính chú vi hình bình hành
Chu vi hình bình hành được phát biểu như sau:
Chu vi của một hình bình hành bằng 2 lần tổng một cặp cạnh kề nhau bất kỳ.
Hoặc cũng có thể hiểu:
Chu vi hình bình hành là tổng độ dài của 4 cạnh hình bình hành.
* Công thức tính chu vi hình bình hành như sau:
C = (a + b) x 2
Trong đó:
– C: Chu vi hình bình hành.
– a và b: Hai cạnh kề nhau bất kỳ của hình bình hành.
Ví dụ: Cho một hình bình hành ABCD có hai cạnh a và b lần lượt là 10 cm và 7 cm. Hỏi chu vi của hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn Giải:
Áp dụng công thức tính chu vi hình bình hành ta có:
C = (a + b) x 2 = (7 + 10) x 2 =17 x 2 = 34 (cm).
Vậy, chu vi hình bình hành ABCD bằng 34 cm.
- Công thức tính chu vi hình thang cân + 5 bài tập hình thang cân mới nhất
- Công thức tính diện tích tam giác vuông, đều, cân, vuông cân chuẩn
- Định nghĩa hình vuông, 5 dấu hiệu nhận biết, công thức chu vi diện tích hình vuông
2 – Công thức tính diện tích hình bình hành
Công thức tính diện tích hình bình hành phát biểu như sau:
Diện tích hình bình hành bằng tích của cạnh đáy nhân với chiều cao.
Công thức tính diện tích hình bình hành:
S = a x h.
Trong đó:
– a: Cạnh đáy của hình bình hành.
– h: Chiều cao (nối từ đỉnh tới đáy của một hình bình hành).
Ví dụ: Có một hình bình hành có chiều dài cạnh đáy CD = 16 cm và chiều cao nối từ đỉnh A xuống cạnh CD dài 5 cm. Hỏi diện tích của hình bình hành ABCD bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Áp dụng Công thức tính diện tích hình bình hành ta có:
chiều dài cạnh đáy CD (a) bằng 16 cm và chiều cao nối từ đỉnh xuống cạnh đáy bằng 5 cm.
Vậy, Diện tích hình bình hành là: 16 x 5 = 80 cm2.
* Mẹo ghi nhớ nhanh công thức tính chu vi, diện tích hình bình hành:
“Bình hành diện tích tính sao
Chiều cao nhân đáy ra liền khó chi
Chu vi thì cần những gì
Cạnh kề cộng lại ta thời nhân hai.”